1. Seja \( f \) uma função diferenciável, de domínio \( \mathbb{R} \), cuja derivada é dada por \( f'(x) = -2x \cdot e^{1-x^2} \). Estude \( f \) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
Resolução passo a passo:
1. Calculemos \( f''(x) \):
\( f''(x) = \frac{d}{dx}[-2x \cdot e^{1-x^2}] \)
Regra do produto:
\( f''(x) = -2e^{1-x^2} + 4x^2 e^{1-x^2} = e^{1-x^2}(4x^2 - 2) \)
2. Concavidade:
\( f''(x) > 0 \Leftrightarrow 4x^2 - 2 > 0 \Leftrightarrow x^2 > 0.5 \Leftrightarrow x < -\sqrt{0.5} \) ou \( x > \sqrt{0.5} \)
\( f''(x) < 0 \Leftrightarrow -\sqrt{0.5} < x < \sqrt{0.5} \)
3. Pontos de inflexão:
Em \( x = -\sqrt{0.5} \) e \( x = \sqrt{0.5} \) (aprox. ±0,707)
Resposta:
Concavidade para cima: \( x < -\sqrt{0.5} \) e \( x > \sqrt{0.5} \)
Concavidade para baixo: \( -\sqrt{0.5} < x < \sqrt{0.5} \)
Dois pontos de inflexão em \( x = -\sqrt{0.5} \) e \( x = \sqrt{0.5} \).
1. Calculemos \( f''(x) \):
\( f''(x) = \frac{d}{dx}[-2x \cdot e^{1-x^2}] \)
Regra do produto:
\( f''(x) = -2e^{1-x^2} + 4x^2 e^{1-x^2} = e^{1-x^2}(4x^2 - 2) \)
2. Concavidade:
\( f''(x) > 0 \Leftrightarrow 4x^2 - 2 > 0 \Leftrightarrow x^2 > 0.5 \Leftrightarrow x < -\sqrt{0.5} \) ou \( x > \sqrt{0.5} \)
\( f''(x) < 0 \Leftrightarrow -\sqrt{0.5} < x < \sqrt{0.5} \)
3. Pontos de inflexão:
Em \( x = -\sqrt{0.5} \) e \( x = \sqrt{0.5} \) (aprox. ±0,707)
Resposta:
Concavidade para cima: \( x < -\sqrt{0.5} \) e \( x > \sqrt{0.5} \)
Concavidade para baixo: \( -\sqrt{0.5} < x < \sqrt{0.5} \)
Dois pontos de inflexão em \( x = -\sqrt{0.5} \) e \( x = \sqrt{0.5} \).
2. Seja \( f(x) = x^2 \cdot e^x \). Calcule \( f'(x) \) e \( f''(x) \).
Resolução passo a passo:
\( f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x (x^2 + 2x) \)
\( f''(x) = e^x (x^2 + 2x) + e^x (2x + 2) = e^x (x^2 + 4x + 2) \)
Resposta:
\( f'(x) = e^x (x^2 + 2x) \)
\( f''(x) = e^x (x^2 + 4x + 2) \)
\( f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x (x^2 + 2x) \)
\( f''(x) = e^x (x^2 + 2x) + e^x (2x + 2) = e^x (x^2 + 4x + 2) \)
Resposta:
\( f'(x) = e^x (x^2 + 2x) \)
\( f''(x) = e^x (x^2 + 4x + 2) \)
3. Seja \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). Calcule \( f'(x) \), \( f''(x) \) e determine os intervalos de concavidade do gráfico de \( f \).
Resolução passo a passo:
\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)
\( f''(x) = 6x - 12 \)
Ponto de inflexão: \( f''(x) = 0 \implies 6x - 12 = 0 \implies x = 2 \)
Para \( x < 2 \): \( f''(x) < 0 \) (concavidade para baixo)
Para \( x > 2 \): \( f''(x) > 0 \) (concavidade para cima)
Resposta:
Concavidade para baixo em \( ]-\infty, 2[ \)
Concavidade para cima em \( ]2, +\infty[ \)
Ponto de inflexão em \( x = 2 \)
\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)
\( f''(x) = 6x - 12 \)
Ponto de inflexão: \( f''(x) = 0 \implies 6x - 12 = 0 \implies x = 2 \)
Para \( x < 2 \): \( f''(x) < 0 \) (concavidade para baixo)
Para \( x > 2 \): \( f''(x) > 0 \) (concavidade para cima)
Resposta:
Concavidade para baixo em \( ]-\infty, 2[ \)
Concavidade para cima em \( ]2, +\infty[ \)
Ponto de inflexão em \( x = 2 \)
4. Seja \( f(x) = \frac{2x+1}{x^2+1} \). Calcule \( f'(x) \).
Resolução passo a passo:
Regra do quociente:
\( f'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)2x}{(x^2+1)^2} \)
\( = \frac{2x^2+2 - (4x^2+2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2-2x}{(x^2+1)^2} \)
\( = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2} \)
Resposta:
\( f'(x) = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2} \)
Regra do quociente:
\( f'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)2x}{(x^2+1)^2} \)
\( = \frac{2x^2+2 - (4x^2+2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2-2x}{(x^2+1)^2} \)
\( = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2} \)
Resposta:
\( f'(x) = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2} \)
5. Seja \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). Calcule \( f'(x) \) e \( f''(x) \).
Resolução passo a passo:
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
\( f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} \)
Resposta:
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} \)
\( f''(x) = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} \)
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
\( f''(x) = \frac{2(x^2+1) - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} \)
Resposta:
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} \)
\( f''(x) = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} \)
6. Seja \( f(x) = e^{2x} \). Calcule \( f'(x) \) e \( f''(x) \).
Resolução passo a passo:
\( f'(x) = 2e^{2x} \)
\( f''(x) = 4e^{2x} \)
Resposta:
\( f'(x) = 2e^{2x} \), \( f''(x) = 4e^{2x} \)
\( f'(x) = 2e^{2x} \)
\( f''(x) = 4e^{2x} \)
Resposta:
\( f'(x) = 2e^{2x} \), \( f''(x) = 4e^{2x} \)
7. Seja \( f(x) = \sin(x) \cdot e^x \). Calcule \( f'(x) \) e \( f''(x) \).
Resolução passo a passo:
\( f'(x) = e^x(\sin x + \cos x) \)
\( f''(x) = e^x(2\cos x) \)
Resposta:
\( f'(x) = e^x(\sin x + \cos x) \), \( f''(x) = 2e^x\cos x \)
\( f'(x) = e^x(\sin x + \cos x) \)
\( f''(x) = e^x(2\cos x) \)
Resposta:
\( f'(x) = e^x(\sin x + \cos x) \), \( f''(x) = 2e^x\cos x \)
8. Seja \( f(x) = x^2 \ln x \). Calcule \( f'(x) \) e \( f''(x) \).
Resolução passo a passo:
\( f'(x) = 2x\ln x + x \)
\( f''(x) = 2\ln x + 3 \)
Resposta:
\( f'(x) = 2x\ln x + x \), \( f''(x) = 2\ln x + 3 \)
\( f'(x) = 2x\ln x + x \)
\( f''(x) = 2\ln x + 3 \)
Resposta:
\( f'(x) = 2x\ln x + x \), \( f''(x) = 2\ln x + 3 \)
9. Seja \( f(x) = \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x} \) para \( x > 0 \). Calcule \( f'(x) \) e determine os extremos relativos da função.
Resolução passo a passo:
Aplicando a regra do quociente:
\( f'(x) = \dfrac{[6x - 2]\cdot x - (3x^2 - 2x + 1)\cdot 1}{x^2} \)
\( = \dfrac{6x^2 - 2x - 3x^2 + 2x - 1}{x^2} \)
\( = \dfrac{3x^2 - 1}{x^2} \)
Extremos relativos: \( f'(x) = 0 \rightarrow 3x^2 - 1 = 0 \rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) (como \( x > 0 \)).
Resposta:
\( f'(x) = \dfrac{3x^2 - 1}{x^2} \)
Extremo relativo para \( x = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \).
Aplicando a regra do quociente:
\( f'(x) = \dfrac{[6x - 2]\cdot x - (3x^2 - 2x + 1)\cdot 1}{x^2} \)
\( = \dfrac{6x^2 - 2x - 3x^2 + 2x - 1}{x^2} \)
\( = \dfrac{3x^2 - 1}{x^2} \)
Extremos relativos: \( f'(x) = 0 \rightarrow 3x^2 - 1 = 0 \rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) (como \( x > 0 \)).
Resposta:
\( f'(x) = \dfrac{3x^2 - 1}{x^2} \)
Extremo relativo para \( x = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \).
10. Seja \( f(x) = \ln(x^2 + 4) \). Calcule \( f'(x) \) e o valor de \( f'(1) \).
Resolução passo a passo:
\( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 4} \)
\( f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 4} = \frac{2}{5} \)
Resposta:
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 4} \)
\( f'(1) = \frac{2}{5} \)
\( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 4} \)
\( f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 4} = \frac{2}{5} \)
Resposta:
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 4} \)
\( f'(1) = \frac{2}{5} \)
11. Seja \( f(x) = x \cdot \sin(x) \). Calcule \( f'(x) \) e \( f''(x) \).
Resolução passo a passo:
\( f'(x) = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x\cos(x) \)
\( f''(x) = \cos(x) + [\cos(x) - x\sin(x)] = 2\cos(x) - x\sin(x) \)
Resposta:
\( f'(x) = \sin(x) + x\cos(x) \)
\( f''(x) = 2\cos(x) - x\sin(x) \)
\( f'(x) = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x\cos(x) \)
\( f''(x) = \cos(x) + [\cos(x) - x\sin(x)] = 2\cos(x) - x\sin(x) \)
Resposta:
\( f'(x) = \sin(x) + x\cos(x) \)
\( f''(x) = 2\cos(x) - x\sin(x) \)
12. Seja \( f(x) = e^{x^2} \). Calcule \( f'(x) \) e \( f''(x) \).
Resolução passo a passo:
\( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} \)
\( f''(x) = 2e^{x^2} + 2x \cdot 2x e^{x^2} = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} = 2e^{x^2}(1 + 2x^2) \)
Resposta:
\( f'(x) = 2x e^{x^2} \)
\( f''(x) = 2e^{x^2}(1 + 2x^2) \)
\( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} \)
\( f''(x) = 2e^{x^2} + 2x \cdot 2x e^{x^2} = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} = 2e^{x^2}(1 + 2x^2) \)
Resposta:
\( f'(x) = 2x e^{x^2} \)
\( f''(x) = 2e^{x^2}(1 + 2x^2) \)
13. Seja \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \). Encontre os valores de \( x \) para os quais o gráfico de \( f \) tem ponto de inflexão.
Resolução passo a passo:
\( f''(x) = 6x - 12 \).
Ponto de inflexão quando \( f''(x) = 0 \rightarrow 6x - 12 = 0 \rightarrow x = 2 \)
Resposta:
O ponto de inflexão ocorre em \( x = 2 \).
\( f''(x) = 6x - 12 \).
Ponto de inflexão quando \( f''(x) = 0 \rightarrow 6x - 12 = 0 \rightarrow x = 2 \)
Resposta:
O ponto de inflexão ocorre em \( x = 2 \).
14. Calcule a derivada da função \( f(x) = \sqrt{2x + 1} \).
Resolução passo a passo:
\( f(x) = (2x + 1)^{1/2} \)
\( f'(x) = \frac{1}{2}(2x + 1)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \)
Resposta:
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \)
\( f(x) = (2x + 1)^{1/2} \)
\( f'(x) = \frac{1}{2}(2x + 1)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \)
Resposta:
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \)
15. Seja \( f(x) = \dfrac{5}{x^2 + 1} \). Calcule \( f'(x) \).
Resolução passo a passo:
\( f'(x) = 5 \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 1)^{-1} = 5 \cdot (-1) (x^2 + 1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{10x}{(x^2 + 1)^2} \)
Resposta:
\( f'(x) = -\dfrac{10x}{(x^2 + 1)^2} \)
\( f'(x) = 5 \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 1)^{-1} = 5 \cdot (-1) (x^2 + 1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{10x}{(x^2 + 1)^2} \)
Resposta:
\( f'(x) = -\dfrac{10x}{(x^2 + 1)^2} \)
Questão 16.
A forma de uma colina pode ser descrita pela equação \( y = -x^2 + 6x + 11 \), com \( 6 \leq x \leq 11 \).
Um professor de Cálculo munido de um rifle de alta precisão está localizado no ponto \( (2, 0) \).
A partir de que ponto, na colina, um aluno estará 100% seguro?