1. Identifique a função quadrática pelo gráfico

Gráfico função quadrática A parábola acima tem vértice em (2, -1) e passa pelo ponto (0, 1). Escreva a expressão da função quadrática.

Passo a passo:
Forma do vértice: f(x) = a(x-2)² - 1
Usando o ponto (0,1):
1 = a(0-2)² - 1 → 1 = 4a - 1 → 4a = 2 → a = 0,5
Resposta: f(x) = 0,5(x-2)² - 1

2. Raízes da função quadrática

Calcule as raízes de f(x) = x² - 4x + 3.

Δ = (-4)² - 4×1×3 = 16 - 12 = 4
x₁ = [4 + 2]/2 = 3
x₂ = [4 - 2]/2 = 1
Raízes: x = 1 e x = 3

3. Valor do vértice

Para f(x) = -2x² + 4x + 1, calcule as coordenadas do vértice.

x_v = -b/(2a) = -4/(2×-2) = 1
y_v = f(1) = -2×1² + 4×1 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3
Vértice: (1, 3)

4. Sinal da função quadrática

Estude o sinal de f(x) = x² - 6x + 8.

Raízes: Δ=36-32=4 → x=2 e x=4
f(x)>0 para x<2 ou x>4
f(x)<0 para 2<x<4

5. Valor numérico

Calcule f(2) para f(x) = 2x² - 3x + 1.

f(2) = 2×4 - 3×2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3

6. Interseção com o eixo y

Qual o valor de f(0) para f(x) = -x² + 5x - 6?

f(0) = -0 + 0 - 6 = -6

7. Tabela de valores

Complete a tabela para f(x) = x² - 2x + 1:

x012
f(x)
f(0)=1, f(1)=0, f(2)=1

8. Problema contextualizado

A área de um retângulo é dada por A(x) = x(10-x). Para que valores de x a área é máxima?

A(x) = -x² + 10x
x_v = -b/(2a) = -10/(2×-1) = 5
Área máxima para x = 5

9. Gráfico: concavidade

O gráfico de f(x) = -x² + 2x + 3 tem concavidade voltada para cima ou para baixo?

Para baixo, pois a = -1 < 0.

10. Raízes pelo gráfico

Gráfico função quadrática Estime as raízes da função representada.

Aproximadamente x ≈ 0,6 e x ≈ 3,4 (análise visual)

11. Aplicação: lucro máximo

O lucro de uma fábrica é dado por L(x) = -2x² + 16x - 24. Qual o número de unidades que maximiza o lucro?

x_v = -b/(2a) = -16/(2×-2) = 4
Lucro máximo para x = 4 unidades

12. Valor mínimo da função

Calcule o valor mínimo de f(x) = x² + 4x + 5.

x_v = -4/(2×1) = -2
f(-2) = (-2)² + 4×(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1
Valor mínimo: 1

13. Interseção com o eixo x

Para f(x) = x² - 5x + 6, indique os pontos de interseção com o eixo x.

Raízes: x² - 5x + 6 = 0 → (x-2)(x-3)=0
x=2 e x=3
Pontos: (2,0) e (3,0)

14. Estudo do delta

Para f(x) = x² + 2x + 5, quantas raízes reais tem a função? Justifique.

Δ = 2² - 4×1×5 = 4 - 20 = -16 < 0
Não tem raízes reais.

15. Problema: área máxima

Um terreno retangular tem perímetro 40 m. Qual o valor de x para que a área seja máxima, sabendo que A(x) = x(20 - x)?

A(x) = -x² + 20x
x_v = -20/(2×-1) = 10
Área máxima para x = 10 m

16. Tabela de sinais

Complete a tabela de sinais para f(x) = x² - 9:

x<-3=-3(-3,3)=3>3
f(x)
<-3: positivo
=-3: zero
(-3,3): negativo
=3: zero
>3: positivo

17. Problema: lançamento de objeto

Um objeto é lançado verticalmente e sua altura é dada por h(t) = -5t² + 20t + 2. Qual a altura máxima atingida?

t_v = -20/(2×-5) = 2
h(2) = -5×4 + 20×2 + 2 = -20 + 40 + 2 = 22
Altura máxima: 22 m

18. Problema: lucro nulo

O lucro de uma empresa é dado por L(x) = x² - 6x + 9. Para que valor de x o lucro é nulo?

x² - 6x + 9 = 0 → (x-3)² = 0 → x=3
Lucro nulo para x = 3

19. Gráfico: concavidade e extremos

O gráfico de f(x) = 2x² - 8x + 7 é uma parábola aberta para cima ou para baixo? Qual o valor mínimo?

Para cima (a=2>0).
x_v = 2
f(2) = 2×4 - 8×2 + 7 = 8 - 16 + 7 = -1
Valor mínimo: -1

20. Problema: interseção com eixo y

Qual é o ponto de interseção com o eixo y da função f(x) = 3x² - 2x + 5?

f(0) = 3×0 - 2×0 + 5 = 5
Ponto: (0, 5)

20. Interpretação de gráfico quadrático

Gráfico função quadrática O gráfico acima representa uma função quadrática. Identifique os zeros da função e o valor do vértice.

Passo a passo:
Os zeros são os pontos onde a parábola corta o eixo x. Visualmente, estão em x ≈ 0,6 e x ≈ 3,4.
O vértice está em x = 2, y = -1.
Resposta: Zeros: x ≈ 0,6 e x ≈ 3,4; Vértice: (2, -1)

21. Problema contextualizado: área máxima

Um agricultor quer cercar um terreno retangular junto a um rio, com 40 m de cerca. Se um dos lados fica junto ao rio (não precisa de cerca), qual deve ser a largura para obter área máxima? Use A(x) = x(40-2x).

Passo a passo:
A(x) = -2x² + 40x
x_v = -b/(2a) = -40/(2×-2) = 10
Resposta: Largura de 10 m para área máxima.

22. Raízes por fatorização

Resolva x² - 7x + 12 = 0 por fatorização.

Passo a passo:
x² - 7x + 12 = (x-3)(x-4) = 0
x = 3 ou x = 4

23. Problema: altura de um projétil

Um projétil é lançado e sua altura é dada por h(t) = -4t² + 16t + 5. Qual a altura máxima atingida?

t_v = -16/(2×-4) = 2
h(2) = -4×4 + 16×2 + 5 = -16 + 32 + 5 = 21
Altura máxima: 21 m

24. Sinal da função

Estude o sinal de f(x) = x² - 4.

Raízes: x = -2 e x = 2
f(x) > 0 para x < -2 ou x > 2
f(x) < 0 para -2 < x < 2

25. Tabela de valores

Complete a tabela para f(x) = 2x² - 8x + 6:

x123
f(x)
f(1)=0, f(2)=-2, f(3)=0

26. Problema: lucro máximo

O lucro de uma empresa é dado por L(x) = -x² + 12x - 20. Para que valor de x o lucro é máximo?

x_v = -12/(2×-1) = 6
Lucro máximo para x = 6

27. Problema: interseção com o eixo y

Qual é o valor de f(0) para f(x) = -3x² + 5x + 2?

f(0) = 2
Ponto de interseção: (0,2)

28. Problema: raízes pelo gráfico

Gráfico função quadrática Estime as raízes da função representada na imagem.

Aproximadamente x ≈ 0,6 e x ≈ 3,4 (análise visual)

29. Problema: concavidade

A função f(x) = -2x² + 4x - 1 tem concavidade voltada para cima ou para baixo?

Para baixo, pois o coeficiente de x² é negativo.

30. Problema: valor mínimo

Calcule o valor mínimo de f(x) = x² + 4x + 8.

x_v = -4/(2×1) = -2
f(-2) = 4 - 8 + 8 = 4
Valor mínimo: 4

31. Problema: raízes complexas

A função f(x) = x² + 2x + 5 tem raízes reais? Justifique.

Δ = 2² - 4×1×5 = 4 - 20 = -16 < 0
Não tem raízes reais.

32. Problema: área máxima de triângulo

Um triângulo isósceles tem base 10 cm e lados iguais de x cm. A área é dada por A(x) = (10/4)√[4x² - 100]. Para que valor de x a área é máxima?

A área é máxima quando x é máximo, ou seja, quando x = 5√2 ≈ 7,07 cm (quando o triângulo é equilátero).

33. Problema: lançamento vertical

Um objeto é lançado verticalmente com altura h(t) = -5t² + 30t. Em que instante retorna ao solo?

h(t)=0 → -5t² + 30t = 0 → t(-5t + 30) = 0
t=0 ou t=6
Retorna ao solo em t=6 s

34. Problema: interseção com eixo x

Para f(x) = 2x² - 8x + 6, indique os pontos de interseção com o eixo x.

2x² - 8x + 6 = 0
x² - 4x + 3 = 0
(x-1)(x-3)=0 → x=1 ou x=3
Pontos: (1,0) e (3,0)

35. Problema: sinal da função

Estude o sinal de f(x) = -x² + 2x + 3.

Raízes: Δ = 4 + 12 = 16 → x = [-2 ± 4]/-2 → x = -1 ou x = 3
f(x) > 0 para -1 < x < 3
f(x) < 0 para x < -1 ou x > 3

36. Problema: função quadrática invertida

Se f(x) = -x² + 6x - 5, qual o valor máximo da função?

x_v = -6/(2×-1) = 3
f(3) = -9 + 18 - 5 = 4
Valor máximo: 4

37. Problema: interseção com eixo y

Qual é o ponto de interseção com o eixo y da função f(x) = 4x² - 7x + 2?

f(0) = 2
Ponto: (0,2)

38. Problema: raízes exatas

Resolva f(x) = x² - 5x + 6 = 0.

(x-2)(x-3)=0 → x=2 ou x=3

39. Problema: valor do delta

Para f(x) = 2x² - 4x + 2, calcule o valor do discriminante (delta) e interprete.

Δ = (-4)² - 4×2×2 = 16 - 16 = 0
Raiz dupla em x=1

40. Problema: função quadrática com parâmetro

Para que valores de k a função f(x) = x² + kx + 4 tem raízes reais?

Δ = k² - 16 ≥ 0 → |k| ≥ 4
k ≤ -4 ou k ≥ 4

1. Valor do vértice

Calcule as coordenadas do vértice da função f(x) = 2x² - 8x + 6.

x_v = -(-8)/(2*2) = 2
y_v = 2*(2)² - 8*2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2
Vértice: (2, -2)

2. Raízes da função quadrática

Resolva f(x) = x² - 5x + 6 = 0.

(x-2)(x-3) = 0 ⇒ x = 2 ou x = 3

3. Sinal da função

Estude o sinal de f(x) = -x² + 4x - 3.

Raízes: Δ = 16 - 12 = 4 ⇒ x = [4±2]/2 ⇒ x=1, x=3
f(x)>0 para 1<x<3
f(x)<0 para x<1 ou x>3

4. Interseção com o eixo y

Qual o valor de f(0) para f(x) = 3x² - 7x + 2?

f(0) = 2
Ponto de interseção: (0,2)

5. Problema contextualizado

Uma bola é lançada verticalmente e sua altura é dada por h(t) = -5t² + 20t + 1. Qual a altura máxima atingida?

t_v = -20/(2*-5) = 2
h(2) = -5*4 + 40 + 1 = -20 + 40 + 1 = 21
Altura máxima: 21 m

6. Tabela de valores

Complete a tabela para f(x) = x² - 2x + 1:

x012
f(x)
f(0)=1, f(1)=0, f(2)=1

7. Concavidade da parábola

O gráfico de f(x) = -2x² + 3x - 1 tem concavidade para cima ou para baixo?

Para baixo, pois o coeficiente de x² é negativo.

8. Problema: área máxima

Um retângulo tem perímetro 20 m. Escreva a função da área em função de x (um dos lados) e calcule o valor de x para área máxima.

Se x é um lado, outro é (10-x).
A(x) = x(10-x) = -x² + 10x
x_v = -10/(2*-1) = 5
Área máxima para x = 5 m

9. Interpretação de gráfico

Gráfico função quadrática Estime as raízes da função representada.

Aproximadamente x ≈ 0,6 e x ≈ 3,4 (análise visual)

10. Problema: lançamento vertical

Um objeto é lançado verticalmente com altura h(t) = -5t² + 30t. Em que instante retorna ao solo?

h(t)=0 → -5t² + 30t = 0 → t(-5t + 30) = 0
t=0 ou t=6
Retorna ao solo em t=6 s

11. Problema: lucro máximo

O lucro de uma empresa é L(x) = -x² + 10x - 16. Para que valor de x o lucro é máximo?

x_v = -10/(2*-1) = 5
Lucro máximo para x = 5

12. Raízes pelo método de Bhaskara

Resolva f(x) = 2x² - 4x - 6 = 0.

Δ = 16 + 48 = 64
x = [4 ± 8]/4 ⇒ x = 12/4 = 3, x = -4/4 = -1
Raízes: x = 3 e x = -1

13. Valor mínimo da função

Calcule o valor mínimo de f(x) = x² + 6x + 10.

x_v = -6/2 = -3
f(-3) = 9 - 18 + 10 = 1
Valor mínimo: 1

14. Problema: raízes complexas

A função f(x) = x² + 2x + 5 tem raízes reais? Justifique.

Δ = 4 - 20 = -16 < 0
Não tem raízes reais.

15. Problema: interseção com eixo x

Para f(x) = x² - 4x + 3, indique os pontos de interseção com o eixo x.

(x-1)(x-3)=0 ⇒ x=1, x=3
Pontos: (1,0) e (3,0)

16. Problema: concavidade e extremos

O gráfico de f(x) = 2x² - 8x + 7 é uma parábola aberta para cima ou para baixo? Qual o valor mínimo?

Para cima (a=2>0).
x_v = 2
f(2) = 8 - 16 + 7 = -1
Valor mínimo: -1

17. Problema: tabela de sinais

Complete a tabela de sinais para f(x) = x² - 9:

x<-3=-3(-3,3)=3>3
f(x)
<-3: positivo
=-3: zero
(-3,3): negativo
=3: zero
>3: positivo

18. Problema: função quadrática invertida

Se f(x) = -x² + 6x - 5, qual o valor máximo da função?

x_v = -6/(2*-1) = 3
f(3) = -9 + 18 - 5 = 4
Valor máximo: 4

19. Problema: raízes exatas

Resolva f(x) = x² - 7x + 12 = 0.

(x-3)(x-4)=0 ⇒ x=3 ou x=4

20. Problema: valor do delta

Para f(x) = 2x² - 4x + 2, calcule o valor do discriminante (delta) e interprete.

Δ = (-4)² - 4×2×2 = 16 - 16 = 0
Raiz dupla em x=1