📘 Matemática A – Exame Nacional 2023 – 1.ª Fase
Questão 1 — Limite de uma Sucessão
Enunciado: Qual é o limite da sucessão de termo geral:
$$a_n = \left(1 + \frac{1}{n^2} \right)^n$$
Opções: (A) $1$ (B) $2e$ (C) $e^2$ (D) $e + 3$
Resolução Passo a Passo:
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n^2} \right)^n$$
$$\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e$$
Mas aqui temos um incremento menor, $\frac{1}{n^2}$.
$$\ln(a_n) = n \cdot \ln\left(1 + \frac{1}{n^2} \right)$$
$$\ln(a_n) \approx n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$$
Questão 2 — Progressão Aritmética
Enunciado: Considere uma linha poligonal construída com segmentos de reta, onde o primeiro tem comprimento desconhecido (x cm). Cada novo segmento tem mais 2 cm que o anterior. O 100.º segmento é o último, e o comprimento total da linha poligonal é 104 metros. Determine o comprimento do primeiro segmento [AB], em centímetros.
Resolução Passo a Passo:
Número de termos: $n = 100$, razão: $r = 2$, soma: $S = 10400$ cm, 1.º termo: $a_1 = x$.
$$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$
com $a_n = a_1 + (n - 1)r$.
Questão 3 — Estudo da Concavidade e Ponto(s) de Inflexão
Enunciado: Seja $f$ uma função diferenciável, de domínio $\mathbb{R}$, cuja derivada é:
$$f''(x) = x^2 e^{2x} - 2x e^{2x}$$
Estude a função quanto à concavidade e ponto(s) de inflexão.
Resolução Passo a Passo:
$(-\infty,0)$: $+$, concavidade para cima;
$(0,2)$: $-$, para baixo;
$(2, +\infty)$: $+$, para cima.
Concavidade para cima: $(-\infty,0)\cup(2, +\infty)$
Para baixo: $(0,2)$
Pontos de inflexão: $x=0$ e $x=2$.
Questão 4.1 — Continuidade de Função por Ramos
Enunciado: Considere $g(x) = \begin{cases} \frac{4x^2-1}{x-1}, & x<1 \\ 7x-3, & x\geq 1 \end{cases}$. Averigue se $g(x)$ é contínua em $x=1$.
Resolução Passo a Passo:
Para $x$ próximo de 1, numerador $\to 3$, denominador $\to 0$.
Questão 4.2 — Equação com Logaritmos
Enunciado: Considere a função anterior. Resolva, em $]1,3[$, $\log_2(g(x)) = \log_3(x)$.
Resolução Passo a Passo:
Questão 5.1 — Permutações com Pessoas Juntas
Enunciado: 10 jovens alinham-se, sendo que Ana, Diogo e Francisco ficam juntos (ordem livre). De quantas formas?
Resolução Passo a Passo:
Questão 5.2 — Probabilidade Condicional
Enunciado: Num grupo: 65% praticam surf, 20% skate só, 4/5 dos surfistas também skate. Seleciona jovem que não pratica skate. Prob de praticar surf?
Resolução Passo a Passo:
Questão 5.3 — Probabilidade com Idades Distintas
Enunciado: 70 jovens, alguns 13, outros 14. Prob. de escolher 2 com idades distintas é $\frac{16}{35}$. Quantos têm 13 anos?